Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：PC=PF；
（3）若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，BE=7$\sqrt{2}$，求線段PC的長．

Answer 1

分析 （1）由切線得：OC⊥PC，再得平行，由同圓的半徑相等：OA=OC，根據(jù)等邊對等角可得結(jié)論；
（2）證明∠PFC=∠PCF，根據(jù)等角對等邊可得結(jié)論；
（3）作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的比設未知數(shù)，利用勾股定理列方程可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠ABE=∠ECB，
∵∠BCP+∠OCB=∠BCP+∠OBC=∠BAC+∠OBC=90°，
∴∠BCP=∠BAC，
∵∠BAC=∠BEC，
∴∠BCP=∠BEC，
∵∠PFC=∠BEC+∠ABE，
∠PCF=∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF；

（3）連接AE．
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴AE=BE，
又∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
AB=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$×$7\sqrt{2}$=14，
∴OB=OC=7，
∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{BC}{AC}$，
∵tan∠ABC=$\frac{4}{3}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{3}{4}$，
設PB=3x，則PC=4x，
在Rt△POC中，（3x+7）²=（4x）²+7²，
解得x₁=0（舍），x₂=6，
∵x＞0，
∴x=6，
∴PC=4x=4×6=24．

點評 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過三角函數(shù)的比設未知數(shù)，表示線段的長，利用垂直構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理列方程解決有關問題．