Question

11．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是射線CB上的一個動點(diǎn)，把△DCE沿DE折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′．
（1）若點(diǎn)C′剛好落在對角線BD上時，BC′=4；
（2）當(dāng)B C′∥DE時，求CE的長；
（3）若點(diǎn)C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠C=90°，BC=8，可得Rt△BCD中，BD=10，據(jù)此可得BC′=10-6=4．
（2）由折疊得，∠CED=∠C′ED，根據(jù)BC′∥DE，可得∠EC′B=∠C′ED，∠CED=∠C′BE，進(jìn)而得到∠EC′B=∠C′EB，據(jù)此可得BE=C′E=EC=4；
（3）作AD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)C′在矩形內(nèi)部時；②當(dāng)點(diǎn)C′在矩形外部時，分別根據(jù)勾股定理，列出關(guān)于x的方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）如圖1，由折疊可得DC'=DC=6，
∵∠C=90°，BC=8，
∴Rt△BCD中，BD=10，
∴BC′=10-6=4．
故答案為4；

（2）如圖2，由折疊得，∠CED=∠C′ED，
∵BC′∥DE，
∴∠EC′B=∠C′ED，∠CED=∠C′BE，
∴∠EC′B=∠C′EB，
∴BE=C′E=EC=4；

（3）作AD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)C′在矩形內(nèi)部時，如圖3，
∵點(diǎn)C′在AD的垂直平分線上，
∴DM=4，
∵DC′=6，
∴由勾股定理得：MC′=2$\sqrt{5}$，
∴NC′=6-2$\sqrt{5}$，
設(shè)EC=x，則C′E=x，NE=4-x，
∵NC′²+NE²=C′E²，
∴（6-2$\sqrt{5}$）²+（4-x）²=x²，
解得：x=9-3$\sqrt{5}$，
即CE=9-3$\sqrt{5}$；

②當(dāng)點(diǎn)C′在矩形外部時，如圖4，
∵點(diǎn)C′在AD的垂直平分線上，
∴DM=4，
∵DC′=6，
∴由勾股定理得：MC′=2$\sqrt{5}$，
∴NC′=6+2$\sqrt{5}$，
設(shè)EC=y，則C′E=y，NE=y-4，
∵NC′²+NE²=C′E²，
∴（6+2$\sqrt{5}$）²+（y-4）²=y²，
解得：y=9+3$\sqrt{5}$，
即CE=9+3$\sqrt{5}$，
綜上所述，CE的長為9±3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．解題時，常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨�角形，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．