Question

20．如圖，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，點E為BC的中點，CN⊥AE交AB于N．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）求證：AE=CN+EN．（請用多種方法證明）
（一）直接截長法
（二）間接截長法
（三）直接補短法
（四）間接補短法．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等即可證明．
（2）證法一（直接截長法）：如圖2中，在線段AE上截取AM=CN，連接CM．
證法二（間接截長法）：如圖2中，作CM平分∠ACB交AE于M．
證法三（直接補短法）如圖3中，延長CN到M，使得CM=AE．
證法四（間接補短法），如圖3中，作BM⊥BC，交CN于M．

解答 證明：（1）如圖1中，

∵∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠ACB=90°，
∵AE⊥CN，
∴∠AOC=90°，
∴∠1+∠ACO=90°，∠2+∠ACO=90°，
∴∠1=∠2．

（2）證法一（直接截長法）：如圖2中，在線段AE上截取AM=CN，連接CM．

在△ACM和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠1=∠2}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△CBN，
∴CM=BN，∠ACM=∠B=45°，
∴∠MCE=45°，
∴∠B=∠MCE，
在△MCE和△NBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=BN}\\{∠MCB=∠B}\\{CE=BE}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△NBE，
∴EM=EN，
∴AE=AM+EM=CN+EN．

證法二（間接截長法）：如圖2中，作CM平分∠ACB交AE于M．
在△ACM和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=BC}\\{∠ACM=∠B}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△CBN，
∴CM=BN，∠ACM=∠B=45°，
∴∠MCE=45°，
∴∠B=∠MCE，
在△MCE和△NBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=BN}\\{∠MCB=∠B}\\{CE=BE}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△NBE，
∴EM=EN，
∴AE=AM+EM=CN+EN．

證法三（直接補短法）如圖3中，延長CN到M，使得CM=AE．

在△ACE和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠ACE=∠CBM}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBE，
∴CE=BM=BE，∠ACE=∠CBM=90°，
∴∠MBN=45°=∠NBE，
在△NBM和△NBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BN=BN}\\{∠NBM=∠NBE}\\{BM=BE}\end{array}\right.$，
∴△NBM≌△NBE，
∴NM=EN，
∴AE=CM=CN+NM=CN+EN．
證法四（間接補短法），如圖3中，作BM⊥BC，交CN于M．
在△ACE和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BC=AC}\\{∠CBM=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBE，
∴CE=BM=BE，
∵∠CBM=90°，∠CBA=45°，
∴∠NBM=∠NBE=45°
在△NBM和△NBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BN=BN}\\{∠NBM=∠NBE}\\{BM=BE}\end{array}\right.$，
∴△NBM≌△NBE，
∴NM=EN，
∴AE=CM=CN+NM=CN+EN．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．