Question

19．拋物線y=4x²-2ax+b與x軸相交于A（x₁，0），B（x₂，0）（0＜x₁＜x₂）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）設(shè)AB=2，tan∠ABC=4，求該拋物線的解析式；
（2）在（1）中，若點(diǎn)D為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）是否存在整數(shù)a，b使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同時(shí)成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由tan∠ABC=4，可以假設(shè)B（m，0），則A（m-2，0），C（0，4m），可得拋物線的解析式為y=4（x-m）（x-m+2），把C（0，4m）代入y=4（x-m）（x-m+2），求出m的值即可解決問題；
（2）設(shè)P（m，4m²-16m+12）．作PH∥OC交BC于H，根據(jù)S_△PBC=S_△PHC+S_△PHB構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
（3）不存在．假設(shè)存在，由題意由題意可知，$\left\{\begin{array}{l}{4-2a+b＞0}\\{16-4a+b＞0}\\{4{a}^{2}-16b＞0}\end{array}\right.$且1＜-$\frac{-2a}{8}$＜2，首先求出整數(shù)a的值，代入不等式組，解不等式組即可解決問題．

解答 解：（1）∵tan∠ABC=4
∴可以假設(shè)B（m，0），則A（m-2，0），C（0，4m），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y=4（x-m）（x-m+2），
把C（0，4m）代入y=4（x-m）（x-m+2），得m=3，
∴拋物線的解析式為y=4（x-3）（x-1），
∴y=4x²-16x+12，

（2）如圖，設(shè)D（m，4m²-16m+12）．作DH∥OC交BC于H．

∵B（3，0），C（0，12），
∴直線BC的解析式為y=-4x+12，
∴H（m，-4m+12），
∴S_△DBC=S_△DHC+S_△DHB=$\frac{1}{2}$•（-4m+12-4m²+16m-12）•3=-6（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{2}$，
∵-6＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$時(shí)，△DBC面積最大，
此時(shí)D（$\frac{3}{2}$，-3）．

（3）不存在．
理由：假設(shè)存在．由題意可知，
$\left\{\begin{array}{l}{4-2a+b＞0}\\{16-4a+b＞0}\\{4{a}^{2}-16b＞0}\end{array}\right.$且1＜-$\frac{-2a}{8}$＜2，
∴4＜a＜8，
∵a是整數(shù)，
∴a=5 或6或7，
當(dāng)a=5時(shí)，代入不等式組，不等式組無解．
當(dāng)a=6時(shí)，代入不等式組，不等式組無解．
當(dāng)a=7時(shí)，代入不等式組，不等式組無解．
綜上所述，不存在整數(shù)a、b，使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同時(shí)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、三角形的面積，不等式組等整數(shù)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)利用不等式組解決問題，屬于中考?jí)狠S題．