Question

8．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交BC邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AD上，且DF=BE．
（1）求證：四邊形AECF是矩形．
（2）若BF平分∠ABC，且DF=1，AF=3，求線段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先證明AF=EC，AF∥EC，推出四邊形AECF是平行四邊形，再證明∠AEC=90°即可解決問(wèn)題；
（2）分別在Rt△ABE，Rt△BCF中，利用勾股定理求出AE、BF即可；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

（2）解：∵BF平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，
∴AB=AF=3，AD=BC=4，
在Rt△ABE中，AE=CF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△BFC中，BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．