Question

20．四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是射線BC上一點(diǎn)，連接AC，DE．
（1）如圖1，BE=AC，若∠ACB=40°，求∠E的度數(shù)；
（2）如圖2，BE=AC，若M是DE的中點(diǎn)，連接AM，CM，求證：AM⊥MC；
（3）如圖3，點(diǎn)E在邊BC上，射線AE交射線DC于點(diǎn)F，∠AED=2∠AEB，AF=m＞0，AB=m-4，則CE=$\sqrt{-\frac{3{m}^{2}}{4}+8m-16}$．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)：AC=BD，OB=OC，可得∠DBC=∠ACB=40°，由BD=BE得∠E=∠BDE，可得結(jié)論；
（2）如圖2，延長CM交AD延長線于G，先證明△DMG≌△EMC，得AG=AC，根據(jù)等腰三角形三線合一得：AM⊥MC；
（3）如圖3，取AF的中點(diǎn)P，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：$PD=AP=\frac{1}{2}AF$=$\frac{1}{2}$m證明∠DPE=∠AED，則DE=DP=$\frac{m}{2}$，利用勾股定理可得CE的長．

解答 解：（1）連接BD，與AC交于O，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OB=OC
∴∠DBC=∠ACB=40°
∵BE=AC，
∴BD=BE，
∴∠E=$\frac{180°-40°}{2}=70°$；
（2）如圖2，延長CM交AD延長線于G，
∵AG∥BE，
∴∠GDM=∠E，∠G=∠GCE，
∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，
∴DM=EM，
∴△DMG≌△EMC，
∴CE=DG，CM=MG，
∴BC+CE=AD+DG，
即AG=BE，
由（1）知：BE=BD=AC，
∴AG=AC，
又∵CM=MG，
∴AM⊥MC；
（3）如圖3，取AF的中點(diǎn)P，連接PD，則$PD=AP=\frac{1}{2}AF$=$\frac{1}{2}$m，
∴∠PDA=∠PAD，
在矩形ABCD中，∠AEB=∠PAD，∠AED=2∠AEB，
∴∠DPE=∠PAD+∠PDA=2∠PAD=2∠AEB=∠AED，
∴DE=DP=$\frac{m}{2}$，
在△DEC中，∠DCE=90°，DC=m-4，
∴CE=$\sqrt{D{E^2}-D{C^2}}=\sqrt{{{（\frac{m}{2}）}^2}-{{（m-4）}^2}}=\sqrt{-\frac{{3{m^2}}}{4}+8m-16}$．
故答案為：CE=$\sqrt{-\frac{3{m}^{2}}{4}+8m-16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握矩形對(duì)角線相等是關(guān)鍵．