Question

18．如圖，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于點A（2，0）和點B，與y軸交于點C，頂點為點D，對稱軸為直線x=-1，點E為線段AC的中點，點F為x軸上一動點．
（1）直接寫出點B的坐標，并求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當點F的橫坐標為-3時，線段EF上存在點H，使△CDH的周長最小，請求出點H，使△CDH的周長最小，請求出點H的坐標；
（3）在y軸左側(cè)的拋物線上是否存在點P，使以P，F(xiàn)，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軸對稱，可得B點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得C點坐標，根據(jù)配方法，可得D點坐標，根據(jù)勾股定理，可得CF的長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得A，C關(guān)于EF對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得PA=PC，根據(jù)兩點之間線段最短，可得P是AD與EF的交點，根據(jù)解方程組，可得答案；
（3）根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得P點的縱坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）由A、B關(guān)于x=-1對稱，得
B（-4，0），
∵拋物線y=ax²+bx-4過A（2，0）、B（-4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b-4=0}\\{16a-4b-4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²+x-4，
（2）如圖1，
當x=0時，y=-4，即C（0，-4），
y=$\frac{1}{2}$x²+x-4=$\frac{1}{2}$（x+1）²-$\frac{9}{2}$
∴D（-1，-$\frac{9}{2}$），
∵E為線段AC的中點，A（2，0），C（0，-4），
∴E（1，-2）．
∵點F橫坐標為-3，
∴F（-3，0），
∴AF=5，CF=$\sqrt{O{F}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AF=CF，
∵E為線段AC的中點，
∴EF垂直平分AC，
∴A、C關(guān)于直線EF軸對稱，連接AD，與直線EF交點即為所求H，
∴EF⊥AC．
設(shè)直線EF關(guān)系式為y=k₁x+b₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{1}+_{1}=2}\\{-3{k}_{1}+_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{_{1}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線EF：y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
設(shè)直線AD關(guān)系式為y=k₂x+b₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{2}+_{2}=2}\\{-{k}_{2}+_{2}=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{3}{2}}\\{_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{2}$x-3，
聯(lián)立AD，EF，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}x-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{15}{8}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{3}{4}$，-$\frac{15}{8}$）．

（3）若CD為對角線，不存在；
若CD為邊，則PF∥CD且PF=CD，
∵C（0，-4），D（-1，-$\frac{9}{2}$），點F為x軸上一動點，
如圖2，
PDCF是平行四邊形，對角線的縱坐標為-$\frac{9}{4}$，P點縱坐標-$\frac{1}{2}$，
當y=-$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2}$x²+x-4=-$\frac{1}{2}$，解得x₁=-1+2$\sqrt{2}$（舍），x₂=-1-2$\sqrt{2}$，
∴P₁（-1-2$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
如圖3，
PFDC是平行四邊形，對角線的交點坐標為-2，P點坐標為$\frac{1}{2}$，
當y=$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2}$x²+x-4=$\frac{1}{2}$，解得x₁=-1+$\sqrt{10}$（舍），x₂=-1-$\sqrt{10}$，
∴P₂（-1-$\sqrt{10}$，$\frac{1}{2}$）．
綜上所述：在y軸左側(cè)的拋物線上存在點P，使以P，F(xiàn)，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標（-1-2$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$），（-1-$\sqrt{10}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)得出A，C關(guān)于EF對稱，又利用了兩點之間線段最短，解方程組；解（3）的關(guān)鍵是利用平行四邊形的對角線互相平分得出P點的縱坐標，又利用了自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系．