Question

7．已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B、C分別為坐標(biāo)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且OA=1，OB=3，OC=4．
（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP的面積等于△ACB的面積？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得答案；
（2）根據(jù)等底等高的三角形面積相等，可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)菱形的四邊相等，可得QB的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的對(duì)邊平行，可得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵OA=1，OB=3，OC=4．
∴A（1，0）、B（0，3）、C（-4，0），
將A，B，C代入函數(shù)解析式，得
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ c=3\\ 16a-4b+c=0\end{array}\right.$
解得：a=$-\frac{3}{4}$，b=$-\frac{9}{4}$，c=3，
∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=$-\frac{3}{4}$x²$-\frac{9}{4}$x+3；
∵y=$-\frac{3}{4}$x²$-\frac{9}{4}$x+3=$-\frac{3}{4}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{16}$
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（$-\frac{3}{2}，\frac{75}{16}$），

（2）在拋物線上存在一點(diǎn)P，使△ACP的面積等于△ACB的面積，理由為：
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（m，n），
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$，S_△ACP=$\frac{1}{2}$×5×|n|
∴$\frac{1}{2}$×5×|n|=$\frac{15}{2}$，n=±3
∴當(dāng)n=3時(shí)，$-\frac{3}{4}$x²$-\frac{9}{4}$x+3=3，解得x₁=0（舍），x₂=-3即P（-3，3）
當(dāng)n=-3時(shí)，$-\frac{3}{4}$x²$-\frac{9}{4}$x+3=-3，解得x₁=$\frac{{-3+\sqrt{41}}}{2}$，x₂=$\frac{{-3-\sqrt{41}}}{2}$，即P ₂（$\frac{{-3+\sqrt{41}}}{2}$，-3），P₃（$\frac{{-3-\sqrt{41}}}{2}$，-3）
綜上所述：P的坐標(biāo)為P ₁（-3，3），P ₂（$\frac{{-3+\sqrt{41}}}{2}$，-3），P₃（$\frac{{-3-\sqrt{41}}}{2}$，-3）

（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由為：
∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
當(dāng)BQ平行且等于AC時(shí)，四邊形ACBP為菱形，
∴BQ=AC=BC=5，
∵∵BQ∥AC，
∴點(diǎn)Q到x軸的距離等于OB=3，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，3），
當(dāng)點(diǎn)Q在第二、三象限時(shí)，以點(diǎn)A、B、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，
則當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，3）時(shí)，以點(diǎn)A、B、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵是利用等底等高的三角形面積相等得出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，有利用自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系；解（3）的關(guān)鍵是利用菱形的四邊相等得出QB的長(zhǎng)．