Question

19．【問(wèn)題提出】
我們借助學(xué)習(xí)“圖形的判定”獲得的經(jīng)驗(yàn)與方法對(duì)“平行四邊形的判定”進(jìn)一步探究．

【初步思考】
在一個(gè)四邊形中，我們把“一組對(duì)邊平行、一組對(duì)邊相等、一組對(duì)角相等或一條對(duì)角線(xiàn)被另一條對(duì)角線(xiàn)平分”稱(chēng)為一個(gè)條件．如圖1，四邊形ABCD中，我們用符號(hào)語(yǔ)言表示出所有的8個(gè)條件：

①AB=CD；	②AD=BC；	③AB∥CD；	④AD∥BC；
⑤∠BAD=∠BCD；	⑥∠ABC=∠ADC；	⑦OA=OC；	⑧OB=OD．

那么滿(mǎn)足2個(gè)條件的四邊形是不是平行四邊形呢？
【深入探究】
小莉所在學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了研究，她們認(rèn)為2個(gè)條件可分為以下六種類(lèi)型：
Ⅰ關(guān)于對(duì)邊的2個(gè)條件；Ⅱ關(guān)于對(duì)角的2個(gè)條件；
Ⅲ關(guān)于對(duì)角線(xiàn)的2個(gè)條件；Ⅳ關(guān)于邊的條件與角的條件各1個(gè)；
Ⅴ關(guān)于邊的條件與對(duì)角線(xiàn)的條件各1個(gè)；Ⅵ關(guān)于角的條件與對(duì)角線(xiàn)的條件各1個(gè)．
（1）小明認(rèn)為“Ⅰ關(guān)于對(duì)邊的2個(gè)條件”可分為“①②，③④，①③，①④”共4種不同種類(lèi)的情形．請(qǐng)你仿照小明的敘述對(duì)其它五種類(lèi)型進(jìn)一步分類(lèi)．
（2）小紅認(rèn)為有4種情形是平行四邊形的判定依據(jù)．請(qǐng)你寫(xiě)出其它的三個(gè)判定定理．
定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
定理1：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
定理2：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
定理3：對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形．
（3）小剛認(rèn)為除了4個(gè)判定依據(jù)外，還存在一些真命題，他寫(xiě)出了其中的1個(gè)，請(qǐng)證明這個(gè)真命題，并仿照他的格式寫(xiě)出其它真命題（無(wú)需證明）：
真命題1：四邊形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，則四邊形ABCD是平行四邊形．
（4）小亮認(rèn)為，還存在一些假命題，他寫(xiě)出了其中的1個(gè)，并舉反例進(jìn)行了說(shuō)明，請(qǐng)你仿照小亮的格式寫(xiě)出其它假命題并舉反例進(jìn)行說(shuō)明．
假命題1：四邊形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，則四邊形ABCD不一定是平行四邊形．
反例說(shuō)明：如圖2，四邊形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，顯然四邊形ABCD不是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）仿照小明的分類(lèi)方法進(jìn)行分類(lèi)即可；
（2）根據(jù)小明的4種不同種類(lèi)的情形，寫(xiě)出定理即可；
（3）利用平行四邊形的定義證明即可；根據(jù)平行四邊形的判定方法，即可解決問(wèn)題；
（4）模仿小亮的方法，寫(xiě)出一些假命題，畫(huà)圖說(shuō)明即可；

解答 （1）解：Ⅱ關(guān)于對(duì)角的2個(gè)條件可分為“⑤⑥”共1種情形；
Ⅲ關(guān)于對(duì)角線(xiàn)的2個(gè)條件可分為“⑦⑧”共1種情形；
Ⅳ關(guān)于邊的條件與角的條件各1個(gè)可分為“①⑤，③⑤”共2種情形；
Ⅴ關(guān)于邊的條件與對(duì)角線(xiàn)的條件各1個(gè)可分為“①⑦，③⑦”共2種情形；
Ⅵ關(guān)于角的條件與對(duì)角線(xiàn)的條件各1個(gè)可分為“⑤⑦，⑥⑦”共2種情形．

（2）解：定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
定理3：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
定理4：對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形．
故答案為：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形

（3）證明：∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴2∠BAD+2∠ABC=360°，2∠ABC+2∠BCD=360°．
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°．
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
真命題2：四邊形ABCD中，若AB∥CD，∠BAD=∠BCD，則四邊形ABCD是平行四邊形；
真命題3：四邊形ABCD中，若AB∥CD，OA=OC，則四邊形ABCD是平行四邊形；
真命題4：四邊形ABCD中，若∠ABC=∠ADC，OA=OC，則四邊形ABCD是平行四邊形；

（4）解：假命題2：四邊形ABCD中，若AB=CD，∠BAD=∠BCD，則四邊形ABCD不一定是平行四邊形．
反例如下：如圖△ABC中，AB=AC，在BC上取一點(diǎn)D，連接AD，

把△ADC翻轉(zhuǎn)得如圖所示的四邊形ABDC，
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
在四邊形ABDC中，AB=CD，∠B=∠C，
顯然，四邊形ABDC不是平行四邊形．
假命題3：四邊形ABCD中，若AB=CD，OA=OC，則四邊形ABCD不一定是平行四邊形．
反例如下：如圖，OA=OC，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，分別以A、C為圓心，
一定的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線(xiàn)l于點(diǎn)B、D，得如圖所示的四邊形ABCD，

在四邊形ABCD中，AB=CD，OA=OC，
顯然，四邊形ABDC不是平行四邊形．
假命題4：四邊形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，OA=OC，則四邊形ABCD不一定是平行四邊形．
反例如下：如圖，箏形ABCD中，∠BAD=∠BCD，OA=OC，顯然四邊形ABCD不是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究的方法，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．