Question

6．如圖，經(jīng)過點(diǎn)A（0，-4）的拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸相交于點(diǎn)B（-1，0）和C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c向上平移$\frac{7}{2}$個(gè)單位長度，再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長度，得到新拋物線，若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；
（3）將x軸下方的拋物線圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，得到新的函數(shù)圖象C，若直線y=x+k與圖象C始終有3個(gè)交點(diǎn)，求滿足條件的k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）該拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，只需將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解．
（2）首先根據(jù)平移條件表示出移動(dòng)后的函數(shù)解析式，進(jìn)而用m表示出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內(nèi)時(shí)m的取值范圍．
（3）先根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖形，然后結(jié)合圖形找出拋物線與x軸有三個(gè)交點(diǎn)的情形，最后求得直線的解析式，從而可求得m的值．

解答 解：（1）∵經(jīng)過點(diǎn)A（0，-4）的拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸相交于點(diǎn)B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{\frac{1}{2}-b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{7}{2}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x-4，

（2）由（1）知，拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x-4=$\frac{1}{2}$（x²-7x）-4=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{81}{8}$，
∴此拋物線向上平移$\frac{7}{2}$個(gè)單位長度的拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{53}{8}$，
再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長度，得到新拋物線y=$\frac{1}{2}$（x+m-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{53}{8}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)P（-m+$\frac{7}{2}$，-$\frac{53}{8}$），
對(duì)于拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x-4，令y=0，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x-4=0，解得x=-1或8，
∴B（8，0），∵A（0，-4），B（-1，0），
∴直線AB的解析式為y=-4x-4，直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-4，
當(dāng)頂點(diǎn)P在AB上時(shí)，-$\frac{53}{8}$=-4×（-m+$\frac{7}{2}$）-4，解得m=$\frac{91}{32}$，
當(dāng)頂點(diǎn)P在AC上時(shí)，-$\frac{53}{8}$=$\frac{1}{2}$（-m+$\frac{7}{2}$）-4，解得m=$\frac{35}{4}$，
∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)$\frac{91}{32}$＜m＜$\frac{35}{4}$．

（3）翻折后所得新圖象如圖所示．

平移直線y=x+k知：直線位于l₁和l₂時(shí)，它與新圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．
①當(dāng)直線位于l₁時(shí)，此時(shí)l₁過點(diǎn)B（-1，0），
∴0=-1+k，即k=1． 
②∵當(dāng)直線位于l₂時(shí)，此時(shí)l₂與函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x+4（-1≤x≤8）的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)
∴方程x+k=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x+4，即x²-5x-8+2k=0有兩個(gè)相等實(shí)根．
∴△=25-4（2k-8）=0，即k=$\frac{57}{8}$．
綜上所述，k的值為1或$\frac{57}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，一次函數(shù)、兩直線平行k相同等知識(shí)，根據(jù)題意畫出如圖，找出新圖象與直線y=x+m有三個(gè)不同公共點(diǎn)的條件是解題的關(guān)鍵．