Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點D是

AC

的中點，BD交AC于E點，
（1）求證：△DAE∽△DBA；
（2）若DE=2，EB=4，求AD及AE的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,圓周角定理

專題：

分析：（1）如圖，證明∠DAE=∠B，結合∠D=∠D，即可解決問題．
（2）由△DAE∽△DBA，列出比例式

DE

AD

=

AD

BD

，結合已知條件求出AD；運用勾股定理求出AE．

解答：（1）證明：∵點D是

AC

的中點，
∴

AD

=

DC

，
∴∠DAE=∠B，而∠D=∠D，
∴△DAE∽△DBA．
（2）解：∵△DAE∽△DBA，
∴

DE

AD

=

AD

BD

，
∵DE=2，BE=4，BD=6
∴AD=2

3

；
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠D=90°，
由勾股定理得：AE²=AD²+DE²，
∴AE=4．
即AD及AE的長分別為2

3

、4．

點評：該題主要考查了圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質、勾股定理等幾何知識點及其應用問題；牢固掌握圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質是解題的關鍵．