Question

10．如圖1，二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象過點(diǎn)A（-1，3），頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖3，一次函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于O、C兩點(diǎn)，點(diǎn)T為該二次函數(shù)圖象上位于直線OC下方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)T作直線TM⊥OC，垂足為點(diǎn)M，且M在線段OC上（不與O、C重合），過點(diǎn)T作直線TN∥y軸交OC于點(diǎn)N．若在點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過程中，$\frac{O{N}^{2}}{OM}$為常數(shù)，試確定k的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）①當(dāng)AB為對角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出方程組解決問題．②當(dāng)AB為邊時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組解決問題．
（3）設(shè)T（m，m²-2m），由TM⊥OC，可以設(shè)直線TM為y=-$\frac{1}{k}$x+b，則m²-2m=-$\frac{1}{k}$m+b，b=m²-2m+$\frac{m}{k}$，求出點(diǎn)M、N坐標(biāo)，求出OM、ON，根據(jù)$\frac{O{N}^{2}}{OM}$列出等式，即可解決問題．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象過點(diǎn)A（-1，3），頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，
則有$\left\{\begin{array}{l}{3=a-b}\\{-\frac{2a}=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴二次函數(shù)y=x²-2x，
（2）由（1）得，B（1，-1），
∵A（-1，3），
∴直線AB解析式為y=-2x+1，AB=2$\sqrt{5}$，
設(shè)點(diǎn)Q（m，0），P（n，n²-2n）
∵以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
①當(dāng)AB為對角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+n}{2}=0}\\{\frac{{n}^{2}-2n}{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1-\sqrt{3}}\\{n=1+\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1+\sqrt{3}}\\{n=1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$
∴P（1+$\sqrt{3}$，2）和（1-$\sqrt{3}$，2）
②當(dāng)AB為邊時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{2}=\frac{m-1}{2}}\\{\frac{{n}^{2}-2n-1}{2}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3+\sqrt{5}}\\{n=1+\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=3-\sqrt{5}}\\{n=1-\sqrt{5}}\end{array}\right.$
∴P（1+$\sqrt{5}$，4）或（1-$\sqrt{5}$，4）．
故答案為P（1+$\sqrt{3}$，2）或（1-$\sqrt{3}$，2）或P（1+$\sqrt{5}$，4）或（1-$\sqrt{5}$，4）．
（3）設(shè)T（m，m²-2m），∵TM⊥OC，
∴可以設(shè)直線TM為y=-$\frac{1}{k}$x+b，則m²-2m=-$\frac{1}{k}$m+b，b=m²-2m+$\frac{m}{k}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{k}x+{m}^{2}-2m+\frac{m}{k}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{m}^{2}k-2mk+m}{{k}^{2}+1}}\\{y=\frac{k（{m}^{2}k-2mk+m）}{{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$，
∴OM=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}•（{m}^{2}k-2mk+m）}{{k}^{2}+1}$，ON=m•$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴$\frac{O{N}^{2}}{OM}$=$\frac{m（{k}^{2}+1）\sqrt{{k}^{2}+1}}{mk-2k+1}$，
∴k=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{O{N}^{2}}{OM}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$．
∴當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過程中，$\frac{O{N}^{2}}{OM}$為常數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用參數(shù)，方程組解決問題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考壓軸題．