Question

7．將一張邊長為1的正方形紙片A，對折一次可得紙片A₁，再將紙片A₁對折得紙片A₂，依次對折后的紙片A₃、A₄、A₅、…A_n．
（1）紙片A₃的面積P₃=$\frac{1}{8}$，紙片A₅的面積P₅=$\frac{1}{32}$；
（2）設S₅=P₁+P₂+P₃+P₄+P₅，求S₅的值，小東同學再求S₅時用以下方法解：
設 S₅=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{2^3}$+$\frac{1}{2^4}$+$\frac{1}{2^5}$    ①
2S₅=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{2^3}$+$\frac{1}{2^4}$      ②
由②-①得S₅=$\frac{31}{32}$
（3）請你模仿小東同學的解題思路求：1+6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁵的值．

Answer 1

分析 （1）對折n次就是原正方形面積的$\frac{1}{{2}^{n}}$，由此直接填空即可；
（2）直接計算得出答案就可；
（3）類比（2）中的方法，設S=1+6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁵，求得6S，用6S減去S，整理求得答案即可．

解答 解：（1）紙片A₃的面積P₃=$\frac{1}{8}$，紙片A₅的面積P₅=$\frac{1}{32}$；
（2）S₅=1-$\frac{1}{{2}^{5}}$=$\frac{31}{32}$；
（3）設S=1+6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁵，
則6S=6+6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁶，
5S-S=6²⁰¹⁶-1，
S=$\frac{{6}^{2016}-1}{5}$．

點評 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，利用類比的方法找出數(shù)字之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．