Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，AC=4cm，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒$\sqrt{3}$cm的速度在射線BC上勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，以A、D、B為頂點(diǎn)的三角形恰為等腰三角形？（結(jié)果可含根號(hào)）．

Answer 1

分析 分三種情況：①當(dāng) AB=AD 時(shí)，如圖1，根據(jù)30°的三角函數(shù)列式計(jì)算即可；②當(dāng)AB=BD時(shí)，如圖2，則$\sqrt{3}$t=8，求出t；③當(dāng)AD=AB時(shí)，如圖3，根據(jù)BD=2BC列式，求t的值．

解答 解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AB=8 cm，AC=4 cm，
∴BC=$\sqrt{A{B^2}-A{C^2}}$=$4\sqrt{3}$cm
∵點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒$\sqrt{3}$cm的速度在射線BC上勻速運(yùn)動(dòng)，
則BD=$\sqrt{3}$tcm，
以A、D、B為頂點(diǎn)的三角形恰為等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①當(dāng) AB=AD 時(shí)，如圖1，過(guò)D作DE⊥AB于E，則AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△ACB中，∵AC=4，AB=8，
∴∠B=30°，
cos∠B=cos30°=$\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{4}{\sqrt{3}t}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
t=$\frac{8}{3}$；
②當(dāng)AB=BD時(shí)，如圖2，
∵AB=8，BD=$\sqrt{3}$t，
則$\sqrt{3}$t=8，
t=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；
③當(dāng)AD=AB時(shí)，如圖3，
∵∠ACB=90°，
∴DC=BC=4$\sqrt{3}$，
則$\sqrt{3}$t=8$\sqrt{3}$，
t=8；
答：當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)8秒或$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$秒或$\frac{8}{3}$秒時(shí)，△ABD為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，由條件分三種情況分別得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，是�？碱}型；由動(dòng)點(diǎn)組成的等腰三角形要采用分類討論的思想．