Question

15．在正方形ABCD中，點E為BC邊上一點且CE=2BE，點F為對角線BD上一點且BF=2DF，連接AE交BD于點G，過點F作FH⊥AE于點H，連結(jié)CH、CF，若HG=2cm，則△CHF的面積是$\frac{56}{5}$cm²．

Answer 1

分析 如圖，過F作FI⊥BC于I，連接FE，F(xiàn)A，得到FI∥CD，設BE=EI=IC=a，CE=FI=2a，AB=3a，由勾股定理得到FE=FC=FA=$\sqrt{5}$a，推出HE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{10}a}{2}$，根據(jù)正方形的性得到BG平分∠ABC，由三角形角平分線定理得到$\frac{EG}{AG}=\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，求得HG=$\frac{1}{4}$AE=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a=2，于是得到結(jié)論．

解答 解：如圖，過F作FI⊥BC于I，連接FE，F(xiàn)A，
∴FI∥CD，
∵CE=2BE，BF=2DF，
∴設BE=EI=IC=a，CE=FI=2a，AB=3a，
∴則FE=FC=FA=$\sqrt{5}$a，
∴H為AE的中點，
∴HE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{10}a}{2}$，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BG平分∠ABC，
∴$\frac{EG}{AG}=\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴HG=$\frac{1}{4}$AE=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a=2，
∴a=$\frac{4}{5}\sqrt{10}$，
∴S_△CHF=S_△HEF+S_△CEF-S_△CEH=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{10}}{2}$a）²+$\frac{1}{2}$•2a•2a-$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{3}{2}$a=$\frac{7}{4}$a²=$\frac{56}{5}$，
故答案為：$\frac{56}{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．