Question

19．已知a是不為1的有理數(shù)，我們把$\frac{1}{1-a}$稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是$\frac{1}{1-2}$，-1的差倒數(shù)是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃的差倒數(shù)，…，依此類推，則a₂₀₁₇=-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)差倒數(shù)的定義分別求解，然后根據(jù)變化規(guī)律確定出3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，再用2017除以3，根據(jù)商和余數(shù)的情況解答．

解答 解：a₁=-$\frac{1}{3}$，
a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
…，
依此類推，每3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，
∵2017÷3=672余1，
∴a₂₀₁₇為第673循環(huán)組的第一個(gè)數(shù)，
∴a₂₀₁₇=a₁=-$\frac{1}{3}$．
故答案為：-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，讀懂題目信息，理解差倒數(shù)的定義并求出3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．