Question

11．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=5，PB=4，PC=3，將△APB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△CQB．求：
（1）點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離；
（2）求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)PQ，如圖，根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)得∠ABC=60°，BA=BC，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，BP=BQ=4，∠PBQ=60°，于是可判斷△PBQ是等邊三角形，所以PQ=PB=4；
（2）先利用勾股定理的逆定理證明△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，再加上∠BPQ=60°，然后計(jì)算∠BPQ+∠QPC即可．

解答 解：（1）連結(jié)PQ，如圖，
∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=60°，BA=BC，
∵△QCB是△PAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，
∵BP=BQ=4，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等邊三角形，
∴PQ=PB=4；
（2）∵QC=5，PC=3，PQ=4，
而3²+4²=5²，
∴PC²+PQ²=CQ²，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，
∵△PBQ是等邊三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．