Question

16．如圖，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且滿足BE=BC．連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，連接AE，過(guò)B點(diǎn)作BG⊥AE于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BG交AD于點(diǎn)H．在下列結(jié)論中：
①AH=DF；  
②∠AEF=45°；   
③S_{四邊形EFHG}=S_△DEF+S_△AGH，
其中正確的結(jié)論有①②．（填正確的序號(hào)）

Answer 1

分析 先判斷出∠DAE=∠ABH，再判斷△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判斷出Rt△ABH≌Rt△DCF從而得到①正確，根據(jù)三角形的外角求出∠AEF=45°，得出②正確；連接HE，判斷出S_△EFH≠S_△EFD得出③錯(cuò)誤．

解答 解：∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是線段AE的垂直平分線，∠ABH=∠DBH=22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°-∠ABH=67.5°，
∵∠AGH=90°，
∴∠DAE=∠ABH=22.5°，
在△ADE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{∠ADE=∠CDE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE=22.5°，
∴∠ABH=∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠CDF}\\{AB=CD}\\{∠ABH=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABH≌Rt△DCF，
∴AH=DF，∠CFD=∠AHB=67.5°，
∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，
∴67.5°=22.5°+∠AEF，
∴∠AEF=45°，故①②正確；
如圖，連接HE，
∵BH是AE垂直平分線，
∴AG=EG，
∴S_△AGH=S_△HEG，
∵AH=HE，
∴∠AHG=∠EHG=67.5°，
∴∠DHE=45°，
∵∠ADE=45°，
∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°，
∴EH=ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S_△EFH≠S_△EFD，
∴S_{四邊形EFHG}=S_△HEG+S_△EFH=S_△AHG+S_△EFH≠S_△DEF+S_△AGH，故③錯(cuò)誤，
∴正確的是①②，
故答案為①②．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和和三角形外角的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出△ADE≌△CDE，難點(diǎn)是作出輔助線．