Question

10．將矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點D與點B重合，點C落在點C′處．折痕為EF，若S_△ABE：S_{四邊形ABFE}=4：9，則cos∠BEF=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• C． 3
• D． $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 由S_△ABE：S_{四邊形ABFE}=4：9，可知AE：BF=4：5，然后由平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可知：∠BEF=∠BFE，從而得到BE=BF，設(shè)AE=4x，則BE=BF=5x，在Rt△ABE中，由勾股定理得；AB=3x，接下來證明四邊形ABFG為矩形，得到GE=x，在△EGF中，EF=$\sqrt{10}x$，從而可求得cos∠BEF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

解答 解：如圖所示，過點F作FG⊥AD，垂足為G．

∵S_△ABE：S_{四邊形ABFE}=4：9，
∴S_△AEB：S_BEF=4：5．
∴AE：BF=4：5．
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB．
由翻折的性質(zhì)可知：∠DEF=∠BEF．
∴∠BEF=∠BFE．
∴BE=BF．
設(shè)AE=4x，則BE=BF=5x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得；$AB=\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}=3x$．
∵∠A=∠ABF=∠FGA=90°，
∴四邊形ABFG為矩形，
∴GF=AB=3x．AG=BF=5x．
∴GE=AG-AE=5x-4x=x．
在△EGF中，EF=$\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{10}x$．
∴cos∠FEG=$\frac{EG}{EF}=\frac{x}{\sqrt{10}x}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴cos∠BEF=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故選：D．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)和判定，證得BF=BE，然后由勾股定理求得AB的長是解題的關(guān)鍵．