Question

13．如圖，已知拋物線y=ax²-2ax+b與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OA，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），在x軸上有一點(diǎn)Q，使MQ⊥NQ，且滿(mǎn)足條件的Q點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，求M點(diǎn)橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的解析式，可得到它的對(duì)稱(chēng)軸方程，進(jìn)而可根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)來(lái)確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，已知OC=3OA，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式．
（2）求出點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求出兩點(diǎn)間的距離與CD相比較可知，PC不可能與CD相等，因此要分兩種情況討論：
①CD=PD，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)滿(mǎn)足P點(diǎn)的要求，坐標(biāo)易求得；
②PD=PC，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PC、PD的長(zhǎng)，根據(jù)它們的等量關(guān)系列式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）此題要分2種情況討論：點(diǎn)Q是直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)Q必為拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，由此求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用當(dāng)M在x軸上方或下方分別得出答案；

解答 解：（1）由y=ax²-2ax+b可得拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=1，由B（3，0）可得A（-1，0）；
∵OC=3OA，
∴C（0，3）；
依題意有：$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∴y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由C點(diǎn)（0，3）和x=1可得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P₁（2，3）；
設(shè)P₂（x，y），
∵C（0，3），P（2，3），
∴CP=2，
∵D（1，4），
∴CD=$\sqrt{2}$＜2，
∴PC不可能與CD相等；
∵CP₂²=（3-y）²+x²，DP₂²=（x-1）²+（4-y）²
∴（3-y）²+x²=（x-1）²+（4-y）²
將y=-x²+2x+3代入可得：x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴y=$\frac{5-\sqrt{5}}{5}$；
∴P₂（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{5}$）．
綜上所述：符合題意的P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，3），（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{5}$）；

（3）存在，如圖，∵M(jìn)Q⊥NQ，且滿(mǎn)足條件的Q點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，
∴由對(duì)稱(chēng)性可直接得Q（1，0），
當(dāng)M在x軸上方，設(shè)M₁縱坐標(biāo)為a，則橫坐標(biāo)為：1+a，
故a=-（1+a）²+2（1+a）+3，
解得：a₁=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$（不合題意舍去），a₂=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
則1+$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
故M₁（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）；
當(dāng)M在x軸下方，設(shè)M₁縱坐標(biāo)為a，則橫坐標(biāo)為：1-a，
故a=-（1-a）²+2（1-a）+3，
解得：a₁=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，a₂=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$（不合題意舍去），
則1-a=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，
故M₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），
綜上所述，符合題意M點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)解析式的求法、等腰直角三角形的性質(zhì)和一元二次方程的解法等知識(shí)，（2）（3）題都用到了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，因此考慮問(wèn)題一定要全面，以免漏解．