Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為$\sqrt{2}$的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動，頂點(diǎn)C、D都在第一象限．
（1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求證：無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；
（3）在運(yùn)動的過程中，若點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若點(diǎn)A與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．由此可見，點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸的正半軸上運(yùn)動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O）時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離h的取值范圍是$\frac{\sqrt{2}}{2}＜d≤1$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，P是AC，BD對角線的交點(diǎn)，能證明OAPB是正方形，從而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）過P點(diǎn)作x軸和y軸的垂線，可通過三角形全等，證明是角平分線．
（3）根據(jù)垂線段最短，點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最小，為正方形ABCD邊長的一半，OA=B時(shí)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最大，為PB的長度，即可得解．

解答 解：（1）∵∠BPA=90°，PA=PB，
∴∠PAB=45°，
∵∠BAO=45°，
∴∠PAO=90°，
∴四邊形OAPB是正方形，
∵AB=$\sqrt{2}$，由勾股定理得：PA=PB=1
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，1）．
（2）證明：如圖，作PE⊥x軸交x軸于E點(diǎn)，作PF⊥y軸交y軸于F點(diǎn)，

∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
在△PBF和△PAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPB=∠EPA}\\{∠PFB=∠PEA}\\{BP=AP}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PAE（AAS），
∴PE=PF，
∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．
（3）解：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最小，
d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)OA=OD時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最大，d=PB=1，
∵點(diǎn)A，B都不與原點(diǎn)重合，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜d≤1，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}＜d≤1$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)垂線段最短判斷出最小與最大值的情況是解題的關(guān)鍵．