Question

10．Rt△ABC和Rt△DEC是兩個全等三角形．按照圖1位置擺放．
（1）猜想∠BCD和∠ACE的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想．
（2）連接AE、BD．
①如圖2，比較△ACE和△BCD面積的大小，并證明你的結(jié)論；
②如圖3，取BD中點M，連接CM，探索∠BCM和∠AEC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件和全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①如圖2，過E作EM⊥AC與M，過B作BN⊥CD與N，通過△BCN≌△ECM，得到BN=EM，根據(jù)三角形的面積即可得到結(jié)論；
②如圖3，延長CM，使MH=CM，連接BH，通過△BMH≌△CDM，得到BH=CD，∠HBD=∠CDB，于是得到BH=AC，∠CBD+∠CDB=∠CBD+∠DBH=180°-∠BCD=∠ACE，證得△ACE≌△BCH，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∠BCD+∠ACE=180°，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠BCD+∠ACE=∠ECD+∠DCA+∠BCD=∠ECD+∠ACB=180°；

（2）①S_△ACE=S_△BCD，
如圖2，過E作EM⊥AC與M，過B作BN⊥CD與N，
∵∠BCM=∠ECD=90°，
∴∠ECN=∠BCD，
在△BCN與△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECM=∠BCD}\\{∠EMC=∠BNC=90°}\\{BC=EC}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△ECM，
∴BN=EM，
∴$\frac{1}{2}$AC•EM=$\frac{1}{2}$CD•BN，
∴S_△ACE=S_△BCD；
②如圖3，延長CM，使MH=CM，連接BH，
在△BMH與△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=DM}\\{∠BMH=∠DMC}\\{MH=MC}\end{array}\right.$，
∴△BMH≌△CDM，
∴BH=CD，∠HBD=∠CDB，
∴BH=AC，∠CBD+∠CDB=∠CBD+∠DBH=180°-∠BCD=∠ACE，
∴∠CBH=∠ACE，
在△ACE與△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BC}\\{∠CBH=∠ACE}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCH，
∴∠BCM=∠AEC．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．