Question

8．閱讀材料：
例：說明代數(shù)式 $\sqrt{{x^2}+1}+\sqrt{{{（x-3）}^2}+4}$的幾何意義，并求它的最小值．
解：$\sqrt{{x^2}+1}+\sqrt{{{（x-3）}^2}+4}=\sqrt{{{（x-0）}^2}+{1^2}}+\sqrt{{{（x-3）}^2}+{2^2}}$，如圖，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則$\sqrt{{{（x-0）}^2}+{1^2}}$可以看成點P與點A（0，1）的距離，$\sqrt{{{（x-3）}^2}+{2^2}}$可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度．為此，構造直角三角形A′CB，因為A′C=3，CB=3，所以A′B=3$\sqrt{2}$，即原式的最小值為3$\sqrt{2}$．
根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：
（1）代數(shù)式$\sqrt{{{（x-1）}^2}+1}+\sqrt{{{（x-2）}^2}+9}$的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B（2，3）的距離之和．（填寫點B的坐標）
（2）代數(shù)式 $\sqrt{{x^2}+36}+\sqrt{{x^2}-12x+40}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）先把原式化為$\sqrt{（x-1）^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+{3}^{2}}$的形式，再根據(jù)題中所給的例子即可得出結論；
（2）先把原式化為$\sqrt{{（x-0）}^{2}+{6}^{2}}$+$\sqrt{（x-6）^{2}+{2}^{2}}$的形式，故得出所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，6）、點B（6，2）的距離之和，再根據(jù)在坐標系內(nèi)描出各點，利用勾股定理得出結論即可．

解答 解：（1）∵原式化為$\sqrt{（x-1）^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+{3}^{2}}$的形式，
∴代數(shù)式$\sqrt{{{（x-1）}^2}+1}+\sqrt{{{（x-2）}^2}+9}$的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B （2，3）或（2，-3）的距離之和，
故答案為（2，3），（2，-3）；

（2）∵原式$\sqrt{（x-0）^{2}+{6}^{2}}$+$\sqrt{（x-6）^{2}+{2}^{2}}$的化為的形式
，
∴所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，6）、點B（6，2）的距離之和，
如圖所示：設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，
∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，
∵A（0，6），B（6，2）
∴A′（0，-6），A′C=6，BC=8，
∴A′B=$\sqrt{A′{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
故答案為：10．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此題的關鍵是根據(jù)題中所給給的材料畫出圖形，再利用數(shù)形結合求解．