Question

5．已知點O是坐標系的原點，直線y=-x+4與雙曲線y=$\frac{mn}{x}$（mn＞0）交于兩個不同的點A（m，n）（$\frac{5}{2}$＜n＜4）和B（p，q），AC⊥x軸交于點C，求△ABC的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 聯(lián)立直線與雙曲線的解析式后，化簡可得x²-4x+mn=0，由題意可知n=p，m+n4，過點B作BD⊥x軸于點D，從而求出梯形ABDC的面積以及三角形BCD的面積表達式，即可求出S的表達式．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{mn}{4}}\end{array}\right.$，
化簡可得到：x²-4x+mn=0，
由題意可知該方程有兩個解，x=m或x=p，
由根與系數(shù)的關系可知：mp=mn，
即p=n，
∴B的坐標為（n，m）
∵點A（m，n）在直線y=-x+4，
∴m+n=4，
∵$\frac{5}{2}$＜n＜4，
∴0＜m＜$\frac{3}{2}$，
∴A（4-n，n），B（n，4-n），
過點B作BD⊥x軸于點D，
∴CD=n-（4-n）=2n-4，BD=4-n，AC=n，
∴梯形ABDC的面積為：$\frac{（AC+BD）•CD}{2}$=4n-8，
△BCD的面積為：$\frac{1}{2}$CD•BD=-n²+6n-8，
∴△ACB的面積為：S=（4n-8）-（-n²+6n-8）=n²-2n，
對稱軸為：n=1，
∴當n=4時，S=4²-2×4=8，
當n=$\frac{5}{2}$時，S=（$\frac{5}{2}$）²-2×$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$
∴S的取值范圍：$\frac{5}{4}$＜S＜8，

點評 本題考查反比例函數(shù)的綜合問題，解題的關鍵是求出n=p，從而將A、B的坐標用n表示，本題屬于中等題型．