Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，4），B（-1，0），在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)G，則BG+$\frac{1}{3}$AG的最小值為$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 在x軸上取一點(diǎn)E（$\sqrt{2}$，0），則AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．作GF⊥AE于F，GH⊥AE于H，交OA于G′，由△AFG∽△AOB，可得$\frac{GF}{OE}$=$\frac{AG}{AE}$，推出GF=$\frac{1}{3}$AG，推出BG+$\frac{1}{3}$AG=BG+FG，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)G與G′重合時(shí)，BG+$\frac{1}{3}$AG的值最小，最小值為BH，求出BH即可解決問題．

解答 解：在x軸上取一點(diǎn)E（$\sqrt{2}$，0），則AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
作GF⊥AE于F，GH⊥AE于H，交OA于G′
∵∠GAF=∠OAE，∠AFG=∠AOE，
∴△AFG∽△AOB，
∴$\frac{GF}{OE}$=$\frac{AG}{AE}$，
∴$\frac{GF}{\sqrt{2}}$=$\frac{AG}{3\sqrt{2}}$，
∴GF=$\frac{1}{3}$AG，
∴BG+$\frac{1}{3}$AG=BG+FG，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)G與G′重合時(shí)，BG+$\frac{1}{3}$AG的值最小，最小值為BH，
∵∠BEH=∠AEO，∠BHE=∠AOE，
∴△BHE∽△AOE，
∴$\frac{BH}{AO}$=$\frac{BE}{AE}$，
∴$\frac{BH}{4}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
∴BH=$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$，
∴BG+$\frac{1}{3}$AG的最小值為$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查垂線段最短、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，關(guān)注相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．