Question

如圖，在直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，OA=3，OC=4，P為直線AB上一動點，將直線OP繞點P逆時針旋轉90^o交直線BC于點Q。

（1）當點P在線段AB上運動（不與A，B重合）時，求證：            

（2）在（1）成立的條件下，設點P的橫坐標為m，線段CQ的長度為L,求出L關于m的函數(shù)解析式，并判斷L是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，請說明理由。

（3）在直線AB上是否存在點P，使ΔPOQ為等腰三角形，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

（1）證明：∵∠APO+∠AOP=90⁰    ∠APO+∠BPQ= 90⁰         ∴∠AOP=∠BPQ

∴RtΔAPO∽RtΔBQP

∴

∴OA·BQ=AP·BP

(2)∵OA·BQ=AP·BP

∴3(3-L)=m(4-m)

∴L關于m的解析式為                   

∵a=1/3>0則L有最小值 L_最小值=5/3

（3）存在，理由  ∵OP⊥PQ則OP=PQ

ΔAPO∽ΔBQP

∴OA/BP=PO/PQ=1 即OA=BP=3

∴AP=1

∴直線AB上存在點P，使ΔPOQ為等腰三角形，點P的坐標為（1，3）