Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，圓O是△ABC的外接圓，點(diǎn)M是CB的中點(diǎn)，連接OM并延長交劣弧$\widehat{BC}$于點(diǎn)D，連接BD并延長與過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)E，P是直線OD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PE-PB|有最大值時(shí)，PD的長度是$\frac{165}{74}$．

Answer 1

分析 建立如圖平面直角坐標(biāo)系，易知A（-2，$\frac{3}{2}$），B（2，-$\frac{3}{2}$），C（-2，-$\frac{3}{2}$），D（0，-$\frac{5}{2}$），在△PCE中，|PE-PC|≤EC，當(dāng)P、C、E共線時(shí)，|PE-PB|=|PE-PC|的值最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：建立如圖平面直角坐標(biāo)系，易知A（-2，$\frac{3}{2}$），B（2，-$\frac{3}{2}$），C（-2，-$\frac{3}{2}$），D（0，-$\frac{5}{2}$），

∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x，直線BD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
∵EA是⊙O的切線，
∴EA⊥AB，
∴直線AE的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{6}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{25}{6}}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{80}{3}}\\{y=-\frac{95}{6}}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{80}{3}$，-$\frac{95}{6}$），
∴直線EC的解析式為y=$\frac{43}{74}$x-$\frac{25}{74}$，
∵OP垂直平分線段BC，
∴PC=PB，
∴|PE-PB|=|PE-PC|，
在△PCE中，|PE-PC|≤EC，
當(dāng)P、C、E共線時(shí)，|PE-PB|=|PE-PC|的值最大，此時(shí)P（0，-$\frac{25}{74}$），
∴PD=$\frac{5}{2}$-$\frac{25}{74}$=$\frac{165}{74}$．
故答案為$\frac{165}{74}$．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系、平面直角坐標(biāo)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用一次函數(shù)解決問題，題目比較難，綜合性比較強(qiáng)．