Question

20．如圖是小明同學(xué)畫(huà)出的某同學(xué)放風(fēng)箏的示意圖，從地面A處放飛的風(fēng)箏幾分鐘后飛至C處，此時(shí)，點(diǎn)B與旗桿PQ的頂部點(diǎn)P以及點(diǎn)C恰好在一直線(xiàn)上，PQ⊥AB于點(diǎn)Q．
（1）已知旗桿的高為10米，在B處測(cè)得旗桿頂部點(diǎn)P的仰角為30°，在A(yíng)處測(cè)得點(diǎn)P的仰角為45°，求A、B之間的距離；
（2）此時(shí)，在A(yíng)處測(cè)得風(fēng)箏C的仰角為75°，設(shè)繩子AC在空中為一條線(xiàn)段，求AC的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）在RT△BPQ中利用tanB=$\frac{PQ}{BQ}$求出BQ，在RT△APQ中根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求出AQ即可．
（2）如圖作AE⊥BC于E，在RT△ABE中求出AE，在RT△AEC中求出AC即可．

解答 解：（1）∵PQ⊥AB，
∴∠BQP=∠AQP=90°，
在RT△BPQ中，∵PQ=10，∠BQP=90°，∠B=30°，
∵tanB=$\frac{PQ}{BQ}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10}{BQ}$，
∴BQ=10$\sqrt{3}$，
在RT△APQ中，$∠\\;AQP=90°$，∠PAB=45°，
∴APQ=90°-∠PAB=45°，AQ=PQ=10，
∴AB=BQ+AQ=10$\sqrt{3}$+10．
答：A、B之間的距離為（10$\sqrt{3}$+10）米．
（2）如圖作AE⊥BC于E．

在RT△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=30°，AB=10$\sqrt{3}$+10，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=5$\sqrt{3}$+5，
∵∠CAD=75°，∠B=30°，∴∠C=45°，
在RT△CAE中，sinC=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}+5}{AC}$，
∴AC=$\sqrt{2}$（5$\sqrt{3}$+5）=5$\sqrt{6}$+5$\sqrt{2}$，
答：AC的長(zhǎng)為（5$\sqrt{6}$+5$\sqrt{2}$）米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解仰角、俯角的概念，學(xué)會(huì)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．