Question

19．已知，D是正△ABC外接圓的弧BC上一點(diǎn)，求證：AD=BD+CD．

Answer 1

分析 如圖，在AD上截取DE=BD，連接BE，證得△BDE是等邊三角形，得到BE=BD，∠BED=60°，由三角形的外角的性質(zhì)得到∠AEB=∠BDC=120°，證得△ABE≌△BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CD，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，在AD上截取DE=BD，連接BE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴BE=BD，∠BED=60°，
∴∠AEB=∠BDC=120°，
在△ABE與△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠BCD}\\{∠AEB=∠BDC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴AE=CD，
∴AD=AE+DE=CD+BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．