Question

3．已知平面直角坐標系xOy，拋物線y=-x²+bx+c過點A（4，0）、B（1，3）．
（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，設拋物線上的點P（5，n）關于直線l的對稱點為E，求四邊形AOEP的面積．

Answer 1

分析 （1）用待定系數法求出拋物線的解析式，運用配方法求出對稱軸和頂點坐標；
（2）根據點P（5，n）在拋物線上，求出點P的坐標，根據拋物線的對稱性求出PE的長，根據梯形面積的求法求出四邊形AOEP的面積．

解答 解：（1）由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{-16+4b+c=0}\\{-1+b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的表達式為：y=-x²+4x，
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴拋物線的對稱軸是x=2，和頂點坐標（2，4）；
（2）當x=5時，y=-5，∴點P（5，-5），
∵點P（5，-5）與點E關于x=2對稱，∴PE=6，
又∵OA=4，
∴四邊形AOEP的面積為：$\frac{1}{2}$（4+6）×5=25．

點評 本題考查的是待定系數法求二次函數的解析式和二次函數的性質，正確運用待定系數法是解題的關鍵，注意正確運用配方法求拋物線的對稱軸和頂點坐標．