Question

12．在△ABC中，若∠C=90°，AB=5，AC、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的值和△ABC的面積．

Answer 1

分析 由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得出AC+BC=2k+3，AC•BC=k²+3k+2，再由勾股定理得出方程，解方程即可求出k的值，即可得出△ABC的面積．

解答 解：根據(jù)題意得：AC+BC=2k+3，AC•BC=k²+3k+2，
∵∠C=90°，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴（AC+BC）²-2AC•BC=25，
即（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
解得：k=2，或k=-5（不合題意，舍去），
∴k=2，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$（2²+3×2+2）=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理；熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．