Question

13．已知△ABC的三邊分別為7，24，25．
（1）求這個三角形外心與重心之間的距離；
（2）以這個三角形的最大角的頂點為圓心作一圓與最長邊相切，求這個圓的直徑之長．

Answer 1

分析 （1）由三角形的三邊可得，△ABC是直角三角形，設O是斜邊AB中點，可得O是△ABC的外心，由重心的性質(zhì)可知：AE：EO=2：1，即可求出OE的值，
（2）先作CF⊥AB于點F，可得CF就是所求圓的半徑，利用射影定理可得CF•AB=AC•CB，可得出CF的值，即可得出這個圓的直徑之長．

解答 解：如圖1，

∵7²+24²=25²，
∴△ABC是直角三角形，
設O是斜邊AB中點，
∴O是△ABC的外心，
由重心的性質(zhì)可知，AE：EO=2：1，
∴OE=$\frac{1}{3}$CO=$\frac{1}{3}$×$\frac{25}{2}$=$\frac{25}{6}$，
（2）如圖2，作CF⊥AB于點F，

∴CF就是所求圓的半徑，
∵CF•AB=AC•CB，
∴CF×25=7×24，解得CF=$\frac{168}{25}$，
∴直徑為：$\frac{168}{25}$×2=$\frac{336}{25}$．

點評 本題主要考查了三角形的外心與內(nèi)心，解題的關鍵是正確的找出外心與重心．