Question

19．如圖，P、Q、R、S四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB、BC、CD、DA的方向滾動(dòng)，其終點(diǎn)分別是B、C、D、A．
（1）不管滾動(dòng)時(shí)間多長(zhǎng)，求證：連接四個(gè)小球所得到的四邊形PQRS總是正方形．
（2）這個(gè)四邊形在什么時(shí)候面積最大？
（3）在什么時(shí)候這個(gè)四邊形的面積為原正方形面積的一半，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由SAS證明△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS，得出FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，再證出∴∠SPQ=90°，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意得出當(dāng)P與頂點(diǎn)B重合時(shí)，面積最大；
（3）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，AP=BQ=CR=DS=x，正方形PQRS的面積為y，則BP=CQ=DR=AS=a-x，根據(jù)勾股定理得出y是x的二次函數(shù)，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：根據(jù)題意得：AP=BQ=CR=DS，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴BP=CQ=DR=AS，在△ASP和△BPQ和△CQR和△DRS中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ=CR=DS}&{\;}\\{∠A=∠B=∠C=∠D}&{\;}\\{AS=BP=CQ=DR}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS（SAS），
∴SP=PQ=QR=RS，∠APS=∠PQB，
∴∠APS+∠BPQ=∠PQB+∠BPQ=90°，
∴∠SPQ=90°，
∴四邊形PQRS為正方形；
（2）解：根據(jù)題意得：當(dāng)P與頂點(diǎn)B重合時(shí)，面積最大，此時(shí)S_{正方形PQRS}=S_{正方形ABCD}．
（3）解：P、Q、R、S分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)時(shí)，四邊形PQRS的面積為原正方形面積的一半．理由如下：
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，AP=BQ=CR=DS=x，正方形PQRS的面積為y，
則BP=CQ=DR=AS=a-x，
根據(jù)勾股定理得：y=PS²=AP²+AS²=x²+（a-x）²=2x²-2ax+a²，
即y是x的二次函數(shù)，
∵2＞0，
∴y有最小值，
當(dāng)x=$\frac{a}{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{2}{a}^{2}$，
即AP=$\frac{a}{2}$時(shí)，四邊形PQRS的面積為原正方形面積的一半，
此時(shí)，P、Q、R、S分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的最小值問(wèn)題等知識(shí)；本題有一定難度，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要運(yùn)用勾股定理和二次函數(shù)的知識(shí)才能得出結(jié)果．