Question

9．如圖，已知P（a，b）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，直線y=kx+1-k與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，∠ABO=45°，過(guò)點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的垂線PM、PN，垂足分別為M、N．
（1）求k的值．
（2）當(dāng)a=1.5時(shí)，求cos∠EOF．
（3）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，AE，EF，BF能否作為同一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，如果能，由AE，EF，BF構(gòu)成的三角形的外接圓的面積記為S₁，S_△OEF記為S₂，S=S₁+S₂，求S的最小值；如果不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的解析式求得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出1-k=$\frac{k-1}{k}$，即可求得k的值；
（2）根據(jù)已知求得E的縱坐標(biāo)和F的橫坐標(biāo)，代入（1）求得直線解析式，求得E、F的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求得OE、OF、EF，設(shè)OG=x，則FG=$\frac{\sqrt{10}}{2}$-x，根據(jù)勾股定理求得OG的長(zhǎng)，解直角三角形即可求得cos∠EOF．
（3）先根據(jù)E、F的坐標(biāo)表示出相應(yīng)的線段，根據(jù)勾股定理求出線段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，則可以表示此三角形的外接圓的面積S₁，再由梯形的面積公式和三角形的面積公式就可以表示出S₂，就可以表示出S的解析式，再根據(jù)求得的函數(shù)S的性質(zhì)就可以求出最值．

解答 解：（1）∵直線y=kx+1-k與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（0，1-k），B（$\frac{k-1}{k}$，0），
∵∠ABO=45°，
∴OA=OB，
∴1-k=$\frac{k-1}{k}$，解得k=±1，
由圖象可知，k=1不合題意，
∴k=-1．
（2）作EG⊥OF于G，
由k=-1，則直線y=-x+2，
∵P（a，b）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，a=1.5，
∴b=$\frac{2}{1.5}$=$\frac{4}{3}$，
∴PM=$\frac{4}{3}$，
∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{4}{3}$，
代入y=-x+2得，$\frac{4}{3}$=-x+2，解得x=$\frac{2}{3}$，
∴E（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴OE=$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
把x=1.5代入y=-x+2得，y=-1.5+2=0.5，
∴F（1.5，0.5），
∴OF=$\sqrt{O{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴EF=$\sqrt{（\frac{3}{2}-\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{1}{2}-\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{6}$，
設(shè)OG=x，則FG=$\frac{\sqrt{10}}{2}$-x，
根據(jù)勾股定理得：OE²-OG²=EF²-GF²，
即（$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）²-x²=（$\frac{5\sqrt{2}}{6}$）²-（$\frac{\sqrt{10}}{2}$-x）²，
解得x=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴OG=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴cos∠EOF=$\frac{OG}{OE}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{3}}{\frac{2\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）∵四邊形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△ANE、△BMF、△PEF為等腰直角三角形．
∵F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，F(xiàn)（a，2-a），
∴BM=FM=2-a，
∴BF²=2（2-a）²=2a²-8a+8．
∵E的縱坐標(biāo)為b，E（2-b，b）
∴AN=EN=2-b，
∴AE²=2（2-b）²=2b²-8b+8．
∴PF=PE=a+b-2，
∴EF²=2（a+b-2）²=2a²+4ab+2b²-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF²=2a²+2b²-8a-8b+16
∴EF²=AE²+BF²．
∴線段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，則此三角形的外接圓的面積為
S₁=$\frac{π}{4}$EF²=$\frac{π}{4}$•2（a+b-2）²=$\frac{π}{2}$（a+b-2）²．
∵S_梯形OMPE=$\frac{1}{2}$（PE+OM）•PM，S_△PEF=$\frac{1}{2}$PF•PE，S_△OMF=$\frac{1}{2}$OM•FM，
∴S₂=S_梯形OMPE-S_△PEF-S_△OMF
=$\frac{1}{2}$（PE+OM）•PM-$\frac{1}{2}$PF•PE-$\frac{1}{2}$OM•FM
=$\frac{1}{2}$[PE（PM-PF）+OM（PM-FM）]
=$\frac{1}{2}$（PF•FM+OM•PF）
=$\frac{1}{2}$PF（FM+OM）
=$\frac{1}{2}$（a+b-2）（2-a+a）
=a+b-2．
∴S=S₁+S₂=$\frac{π}{2}$（a+b-2）²+a+b-2．
設(shè)m=a+b-2，則S=S₁+S₂=$\frac{π}{2}$m²+m=$\frac{π}{2}$（m+$\frac{1}{π}$）²-$\frac{1}{2π}$，
∵面積不可能為負(fù)數(shù)，
∴當(dāng)m＞-$\frac{1}{π}$時(shí)，S隨m的增大而增大．
當(dāng)m最小時(shí)，S最�。�
∵m=a+b-2=a+$\frac{2}{a}$-2=（$\sqrt{a}$-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}$）²+2$\sqrt{2}$-2，
∴當(dāng)$\sqrt{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}$，即a=b=$\sqrt{2}$時(shí)，m最小，最小值為2$\sqrt{2}$-2
∴S的最小值=$\frac{π}{2}$（2$\sqrt{2}$-2）²+2$\sqrt{2}$-2=2（3-2$\sqrt{2}$）π+2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理及勾股定理的逆定理的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，圓的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，在解答時(shí)運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求最值是關(guān)鍵和難點(diǎn)．