Question

15．如圖①在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A．B重合），分別連接ED．EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．
【試題再現(xiàn)】如圖②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角頂點C在直線DE上，分別過點A，B作AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E．求證：△ADC∽△CEB．
【問題探究】在圖①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，試判斷點E是否四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；
【深入探究】如圖③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于點P，過點P作AB⊥AD于點A，交BC于點B．
（1）請證明點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點；
（2）若AD=3，BC=5，試求AB的長；

Answer 1

分析 【試題再現(xiàn)】根據(jù)已知條件證得∠BCE=∠CAD，由∠ADC=∠CEB=90°，于是得到△ADC∽△CEB．
【問題探究】點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．由∠DEC=40°，得到∠DEA+∠CEB=140°；根據(jù)∠A=40°，得到∠ADE+∠AED=140°，于是得到∠ADE=∠CEB，推出△ADE∽△BEC，同時得到結(jié)論；
【深入探究】（1）根據(jù)AD∥BC，得到∠ADC+∠BCD=180°，由于DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，于是得到∠CDP+∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD）=90°，由于∠DPC=∠A=∠B=90°，∠ADP=∠CDP，有一定的△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，即點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點．
（2）過點P作PE⊥DC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，則四邊形ABFD是矩形，得到DF=AB，推出△ADP≌△EDP，得到AD=DE，同理△CBP≌△CEP，得到BC=EC，于是得到DC=AD+BC=8．在Rt△CDF中，CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2，由勾股定理，得DF=$\sqrt{{8^2}-{2^2}}=2\sqrt{15}$，即可得到結(jié)論．

解答 解答：【試題再現(xiàn)】
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥DE，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∵∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC∽△CEB．

【問題探究】點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．
理由如下：
∵∠DEC=40°，
∴∠DEA+∠CEB=140°；
∵∠A=40°，
∴∠ADE+∠AED=140°，
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴E點是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．

【深入探究】
（1）∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
∴∠CDP+∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD）=90°，
∵DA⊥AB，
∴CB⊥AB，
∴∠DPC=∠A=∠B=90°，
∵∠ADP=∠CDP，
∴△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，
∴△ADP∽△PDC∽△BPC，即點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點．
（2）過點P作PE⊥DC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，則四邊形ABFD是矩形，
∴DF=AB，
在△ADP與△EDP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EDP}\\{∠DAF=∠DEP=90°}\\{DP=DP}\end{array}\right.$
∴△ADP≌△EDP，
∴AD=DE，
同理△CBP≌△CEP，
∴BC=EC，
∴DC=AD+BC=8．
在Rt△CDF中，CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2，
由勾股定理，得DF=$\sqrt{{8^2}-{2^2}}=2\sqrt{15}$，
∴AB=2$\sqrt{15}$．

點評 本題考查了相似形綜合題，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例，矩形的對邊平行且相等的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解四邊形邊上的相似點與強相似點的定義并根據(jù)圖形確定出相似三角形，準(zhǔn)確找出對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．