Question

7．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在弧BC上，AE交BC于點(diǎn)D，EB²=ED•EA經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的圓弧交AE于I．
（1）求證：△ABE∽△BDE；
（2）如果BI平分∠ABC，求證：$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AE}{EI}$
（3）設(shè)O的半徑為5，BC=8，∠BDE=45°，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，∠BAE=∠DBE，由角平分線的性質(zhì)得到∠ABI=∠DBI，根據(jù)等式的性質(zhì)得到∠EBI=∠EIB，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到BE=EI，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，易證過點(diǎn)I的$\widehat{BC}$的半徑為BE，根據(jù)勾股定理可以求出BE、DE的長，再根據(jù)BE²=AE•DE就可求出AD的長．

解答 （1）證明：∵EB²=ED•EA，
∴$\frac{EB}{EA}=\frac{DE}{EB}$，
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△BDE；

（2）證明：∵△ABE∽△BDE，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，∠BAE=∠DBE，
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠DBI，
∵∠EBI=∠EBD+∠DBI，∠BIE=∠BAD+∠ABI，
∴∠EBI=∠EIB，
∴BE=EI，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AE}{EI}$；

（3）解：連接EC、OB、OC、OE，設(shè)OE交BC于F，如圖，
∵∠BAE=∠EBC，∠EBC=∠EAC，
∴∠BAE=∠EAC，
∵∠BOE=2∠BAE，∠COE=2∠CAE，
∴∠BOE=∠COE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴EB=EC，
∴EB=EC=EI，
∴點(diǎn)E是過點(diǎn)I的$\widehat{BC}$的圓心，EB是過點(diǎn)I的$\widehat{BC}$的半徑，
∵OB=OC，∠BOE=∠COE，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△OFC中，
∵OC=5，F(xiàn)C=4，
∴OF=3，
∴EF=OE-OF=5-3=2，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠BDE=45°，∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°-45°=45°=∠FDE，
∴DF=EF=2，
∴BD=BF+DF=4+2=6，DE=2$\sqrt{2}$，
∵AE•DE=BE²，
∴（AD+2$\sqrt{2}$）×2$\sqrt{2}$=（2$\sqrt{5}$）²，
∴AD=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了弧與圓心角及弦的關(guān)系、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性．