Question

8．如圖，在△ACB中，AB=AC=5，BC=6，點D在△ACB外接圓的$\widehat{AC}$上，AE⊥BC于點E，連結(jié)DA，DB．
（1）求tan∠D．
（2）作射線CD，過點A分別作AH⊥BD，AF⊥CD，垂足分別為H，F(xiàn)，求證：DH=DF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出EC，根據(jù)勾股定理求出AE，根據(jù)圓周角定理得到∠D=∠C，根據(jù)正切的概念計算即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理證明即可．

解答 （1）解：∵AB=AC，AE⊥BC，
∴EC=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-E{C}^{2}}$=4，
∴tan∠C=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{4}{3}$，
由圓周角定理得，∠D=∠C，
∴tan∠D=$\frac{4}{3}$；
（2）證明：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，又∠ACB=∠ADH，∠ADF=∠ABC，
∴∠ADH=∠ADF，
∴∠DAH=∠DAF，又AH⊥BD，AF⊥CD，
∴DH=DF．

點評 本題考查的是三角形的外接圓和外心的概念和性質(zhì)，掌握圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．