Question

16．已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為44，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥直線BC于E，作AF⊥直線CD于點(diǎn)F，若AE=5，AF=6，則CE+CF的值為2+$\sqrt{3}$或22+11$\sqrt{3}$．．

Answer 1

分析 本題考慮兩種情形：①如圖1中，當(dāng)∠BAD是鈍角時(shí)，設(shè)AB=a，BC=b，列方程組求出a、b，再利用勾股定理求出BE、DF，即可解決問(wèn)題．②如圖2中，當(dāng)∠BAD是銳角時(shí)，求出CE、CF即可．

解答 解：①如圖1中，當(dāng)∠BAD是鈍角時(shí)，設(shè)AB=a，BC=b，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=a，$\frac{1}{2}$•BC•AE=$\frac{1}{2}$•CD•AF，
∴6a=5b  ①
∵a+b=22 ②
由①②解得a=10，b=12，
在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，AB=10，AE=5，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∴EC=12-5$\sqrt{3}$，
在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°．AD=12，AF=6．
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵6 $\sqrt{3}$＞10，
∴CF=DF-CD=6$\sqrt{3}$-10，
∴CE+CF=EC+CF=2+$\sqrt{3}$．
②如圖2中，當(dāng)∠BAD是銳角時(shí)，由①可知：DF=6 $\sqrt{3}$，BE=5$\sqrt{3}$，
∴CF=10+6$\sqrt{3}$，CE=12+5$\sqrt{3}$，
∴CE+CF=22+11$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$或22+11$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形，注意本題有兩個(gè)解，通過(guò)計(jì)算確定高的位置，屬于中考�？碱}型．