Question

17．如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，D重合），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AP交射線CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE交AP的垂線AF于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形APEF是正方形；
（2）探索線段PB，PD，AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若AB=2，求點(diǎn)F移動(dòng)路線的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)PE⊥AP，EF⊥PE，PA⊥AF，證明四邊形APEF是矩形，根據(jù)P、A、D、E四點(diǎn)共圓，得到∠PAE=∠PEA，求出PA=PE，得到答案；
（2）證明△BAP≌△DAF和AE=PF，得到答案；
（3）根據(jù)當(dāng)P與B重合時(shí)，F(xiàn)與D重合，當(dāng)P與D重合時(shí)，F(xiàn)與B關(guān)于AD對(duì)稱，求出BD的長(zhǎng)，得到答案．

解答 解：（1）∵PE⊥AP，EF⊥PE，PA⊥AF，
∴∠APE=∠PEF=∠PAF=90°，
∴四邊形APEF是矩形，
∠APE+∠ADE=180°，
∴P、A、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠PAE=∠PDE=45°，∠PEA=∠PDA=45°，
∴∠PAE=∠PEA，
∴PA=PE，
∴四邊形APEF是正方形；
（2）如圖，連接PF、DF，
∵∠BAD=90°，∠PAF=90°，
∴∠BAP=∠DAF，
在△BAP和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAP=∠DAF}\\{AP=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DAF，
∴BP=DF，∠ADF=∠ABP，
∴∠PDF=90°，
∴PD²+DF²=PF²，
又AE=PF，
則PD²+PB²=AE²；
（3）由（2）得，∠PDF=90°，
∴PD⊥DF，
當(dāng)P與B重合時(shí)，F(xiàn)與D重合，
當(dāng)P與D重合時(shí)，F(xiàn)與B關(guān)于AD對(duì)稱，即DF=BD，
∵AB=2，
∴BD=2$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)F移動(dòng)路線的長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，靈活運(yùn)用性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵，注意四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的正確運(yùn)用．