Question

4．如圖，△ABC是一個三角形的紙片，點D、E分別是△ABC邊上的兩點，

（1）探究圖1：如果沿直線DE折疊，則∠BDA′與∠A的關(guān)系是∠BDA′=2∠A；
（2）探究圖2：如果折成圖2的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的關(guān)系，并說明理由；
（3）探究圖3：如果折成圖3的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的關(guān)系，并說明理由；
（4）探究圖4：若將四邊形紙片ABCD折成圖4的形狀，直接寫出∠DE A′、∠CF B′、∠A和∠B四個角之間的數(shù)量關(guān)系∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)折疊性質(zhì)得∠A=∠AA′D，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)易得∠BDA′=2∠A；
（2）圖②，連結(jié)AA′，先根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BDA′=∠1+∠2，∠CEA=∠3+∠4，則∠BDA′+∠CEA=∠A+∠A′，所以∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
（3）理由如下：圖③，由折疊性質(zhì)得∠A′=∠A，∠DEA′=∠DEA，∠A′DE=∠ADE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得（∠A′+∠A）+（∠DEA′+∠DEA）+（∠A′DE+∠ADE）=360°，接著利用平角定理得到2∠A+（180°+∠CEA′）+（180°-∠BDA′）=360°，然后整理得到∠BDA′-∠CEA′=2∠A；
（4）先由折疊性質(zhì)得∠A′EF=∠AEF，∠B′FE=∠BFE，然后根據(jù)平角定義和四邊形內(nèi)角和得到∠1+∠2=180°-（∠A′EF+∠AEF）+180°-（∠B′FE+∠BFE）=2（∠A+∠B）-360°．

解答 解：（1）∠BDA′=2∠A，
理由：∵△ABC沿直線DE折疊，使A點落在CE上，圖①，
∴∠A=∠AA′D，
∴∠BDA′=∠A+∠AA′D=2∠A；
故答案為：∠BDA′=2∠A；

（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，
理由：圖②，連結(jié)AA′，
∵∠BDA′=∠1+∠2，∠CEA=∠3+∠4，
∴∠BDA′+∠CEA=∠1+∠3+∠2+∠4=∠A+∠A′，
而∠A=∠AA′D，
∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；

（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．
理由如下：圖③，
由翻折可得：∠A′=∠A，∠DEA′=∠DEA，∠A′DE=∠ADE，
由內(nèi)角和性質(zhì)得：（∠A′+∠A）+（∠DEA′+∠DEA）+（∠A′DE+∠ADE）=360°，
∴2∠A+（180°+∠CEA′）+（180°-∠BDA′）=360°
∴2∠A+∠CEA′-∠BDA′=0，
∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A；

（4）由折疊性質(zhì)得∠A′EF=∠AEF，∠B′FE=∠BFE，
∴∠1+∠2=180°-（∠A′EF+∠AEF）+180°-（∠B′FE+∠BFE）
=180°-2∠AEF+180°-2∠BFE
=360°-2（360°-∠A-∠B）
=2（∠A+∠B）-360°．
故答案為∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了折疊的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)．