Question

5．已知：如圖，AE平分△ABC的一個(gè)外角∠CAF，且AE∥BC．
（1）若作∠ABC的平分線與AE交于點(diǎn)D，試判斷△ABD的形狀，并說明理由．
（2）設(shè)BD與AC交于點(diǎn)M，若AM=BM=BC，求∠BAC的大�。�

Answer 1

分析 （1）由AE∥BC可得出∠FAD=∠ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得出∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=∠ADB，由此可得出△ABD為等腰三角形；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得出∠ABC=∠ACB，設(shè)∠BAC=α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得出∠ABC=∠ACB=2α，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出α的值，此題得解．

解答 解：（1）△ABD為等腰三角形，理由如下：
∵AE∥BC，
∴∠FAD=∠ABC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC．
∵∠FAD=∠ABD+∠ADB，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ABC=∠ABD，
∴△ABD為等腰三角形．
（2）∵AE平分∠CAF，
∴∠CAF=2∠FAD=2∠ABC．
∵∠CAF=∠ABC+∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB．
設(shè)∠BAC=α，
∵AM=BM=BC，
∴∠BAM=∠ABM=α，∠BMC=∠BCM=2α，
∴∠ABC=2α．
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴α+2α+2α=180°，
∴α=36°．
∴∠BAC=36°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)找出∠ABD=∠ADB；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出關(guān)于α的一元一次方程．