Question

13．如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線與BC交于點F，與△ABC的外接圓⊙O交于點D，⊙O的切線PD交AB的延長線于點P．
（1）求證：DB=DE；
（2）求證：BD²=DF•DA；
（3）若DF=2cm，DA=8cm，PA=12cm，求線段PD的長．

Answer 1

分析 （1）連接BE，由點E是△ABC的內(nèi)心，得到∠3=∠4，∠1=∠2，根據(jù)圓周角定理得到∠4=∠5，等量代換得到∠3=∠5，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結論；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結論；
（3）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥PD，推出BC∥PD，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{PB}{PA}=\frac{DF}{AD}$，求得PB=3，根據(jù)切割線定理即可得到結論．

解答 解：（1）連接BE，
∵點E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∵∠BED=∠1+∠3，∠DBE=∠2+∠5，
∴∠BED=∠DBE，
∴BD=DE；
（2）∵∠3=∠5，∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{AD}{BD}$，
∴BD²=DF•DA；
（3）連接OD，
∵PD是⊙O 的切線，
∴OD⊥PD，
∵∠3=∠4，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥BC，
∴BC∥PD，
∴$\frac{PB}{PA}=\frac{DF}{AD}$，
∵DF=2cm，DA=8cm，PA=12cm，
∴PB=3，
∵PD是⊙O 的切線，
∴PD²=PB•PA=3×12=36，
∴PD=6．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，三角形的內(nèi)心，正確的作出輔助線是解題的關鍵．