Question

如圖1，分別過正方形ABCD的頂點A、C作水平線的鉛垂線l₁、l₂，l₁、l₂之間的距離叫做正方形ABCD的水平寬，記為d．
（1）若正方形的邊長為5，試確定d的取值范圍為

 

．
（2）若正方形的邊長為5，水平寬d=7，則過B、D兩點分別作水平線的兩條垂線，如圖2所示，求這兩條水平線之間的距離．

Answer 1

考點：正方形的性質,平行線之間的距離

專題：

分析：（1）l₁、l₂間距離最小是正方形的邊長，最大是正方形的對角線的長度；
（2）過B作l₁的垂線交l₁、l₂于M，N兩點，證得△ABM≌△BCN，設出MB=x，利用勾股定理求得x，進一步結合圖形解決問題．

解答：解：（1）當l₁、l₂間距離最小時d=5，
最大時d=

52+52

=5

2

，
則5＜d≤5

2

；

（2）如圖，

過B作l₁的垂線交l₁、l₂于M，N兩點，
∵∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠CBN=90°
∴∠BAM=∠CBN
在△ABM和△BCN中，

∠AMB=∠BNC ∠BAM=∠CBN AB=BC

∴△ABM≌△BCN（AAS），
設MB=x，則AM=BN=7-x
根據勾股定理AM²+MB²=AB²
即x²+（7-x）²=5²
解得x=3或x=4
∴7-x=4或x=3
∴取MB=3則BN=4
∴A到過B的平行線距離為3，同理C到過D的平行線距離為3
∴過B、D的兩條平行線距離為d-3-3=1．

點評：此題考查正方形的性質，三角形全等的判定與性質，勾股定理等知識點，注意結合圖形，解決問題．