Question

正方形ABCD中，點O是對角線DB的中點，點P在DB所在的直線上，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）如圖1，當點P與點O重合時，延長FP交AB于點M，求證：AP=EF；
（2）如圖2，當點P在線段DB上（不與點D、O、B重合）時，延長FP交AB于點M，求證：AP=EF；
（3）如圖3，當點P在DB的延長線上時，請你猜想AP與EF的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出相應的結(jié)論．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AP與BD的關(guān)系，再根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，可得EF與BD的關(guān)系，可得答案；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得PM與PE的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得△AMP與△FPE的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得證明結(jié)果；
（3）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．

解答：
（1）證明：如圖1，連接AC，AC交BD于O點，O與P重合，
∴PA=

1

2

AC=

1

2

BD，
PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，
∴OE、OF是△BCD的中位線，
點E、F分別是BC、CD的中點，
∴EF是△BCD的中位線，
∴EF=

1

2

BD，
∴EF=AP．

（2）證明：如圖2，∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，∠MPB=∠PBE=45°，
∴四邊形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，
且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
在△AMP和△FPE中，

AM=FP ∠AMP=∠FPE PM=PE

∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF；

（3）解：如圖：AP=EF，且AP⊥EF．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，（1）正方形的性質(zhì)得出AO與BD的關(guān)系，三角形的中位線得出EF與BD的關(guān)系，（2）由正方形的性質(zhì)得出三角形全等的條件，再由三角形全等得出對應邊相等得出證明的結(jié)論．