Question

19．如圖，在三角形紙片ABC中，∠BAC為銳角，AC=10cm，AB=15cm，按下列步驟折疊：第一次，過點(diǎn)A折疊，使C點(diǎn)落在AB邊上，折痕交BC邊于D點(diǎn)；第二次折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕分別交AB、AC邊于點(diǎn)E、F，展開后，連結(jié)DE、DF．
（1）試判斷四邊形AEDF的形狀一定是什么？并求四邊形AEDF的周長；
（2）當(dāng)AD=4EF時，在邊AC上取點(diǎn)G，使點(diǎn)G繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)90°后落在折痕AD上，求$\frac{AG}{AF}$的值；
（3）當(dāng)∠BAC=30°時，一只螞蟻N從C點(diǎn)出發(fā)沿紙片爬向終點(diǎn)A，它在AB邊上爬行的速度是1cm/s，而在其它地方爬行的速度是0.6cm/s，問這只螞蟻N從點(diǎn)C爬向終點(diǎn)A的最短時間是多少？

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，推得∠CAD=∠BAD，EF垂直平分AD；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，推得△AFG≌△AEG，即可判斷出FG=EG，所以AD和EF互相垂直平分，所以四邊形AEDF是菱形；最后根據(jù)DF∥AB，求出DF的長度，進(jìn)而求出四邊形AEDF的周長是多少即可．
（2）分點(diǎn)G在線段AF上和線段FC上兩種情況，先作出GM⊥EF，判斷出△ENG≌△EON，由AD=4EF得到OA=4MG，再用比例式即可．
（3）先計算出在線段CA上爬行所用時間$\frac{50}{3}$s，再計算出再線段AB上爬行時間15s，由于BC＞15-10=5，所以，在線段CB上爬行的時間大于$\frac{25}{3}$，所以螞蟻在線段CA上直接爬行到點(diǎn)A所以時間最短，即可．

解答 解：（1）如圖1，連接DE、DF，AD、EF相交于點(diǎn)G，
，
∵沿著AD折疊，C點(diǎn)落在AB邊上，
∴∠CAD=∠BAD，
∵沿著EF折疊時，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，
∴EF垂直平分AD，
在△AFG和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAG=∠EAG}\\{AG=AG}\\{∠FGA=∠EGA}\end{array}\right.$
∴△AFG≌△AEG，
∴FG=EG，
∴AD和EF互相垂直平分，
∴四邊形AEDF是菱形．
設(shè)DF=AF=xcm，
∵DF∥AB，
∴$\frac{x}{15}=\frac{10-x}{10}$，
解得x=6cm，
∴四邊形AEDF的周長是：6×4=24（cm）．
（2）①點(diǎn)G在線段AF上，作GM⊥EF，如圖2，

∴∠GME=90°，
∴∠MGE+∠MEG=90°，
由（1）四邊形AEDF是菱形，
∴EF⊥AD，OE=OF，
∴∠EON=90°，
∴∠MEN+∠MEG=90°，
∴∠MGE=∠MEN，
∵EG=EN，
∴△ENG≌△EON，
∴MG=OE=OF，
∵AD=4EF，
∴OA=4OF=4MG，
∵GM∥OA，
∴$\frac{FG}{AF}=\frac{MG}{OA}$=$\frac{MG}{4MG}$=$\frac{1}{4}$，∴$\frac{AG}{AF}=\frac{3}{4}$．
②點(diǎn)G在線段FC上，作GM⊥EF，如圖3，

同①的方法有，OA=4MG，
∴$\frac{FG}{AF}=\frac{MG}{AO}=\frac{MG}{4MG}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{5}{4}$．
（3）螞蟻爬行的路徑只有兩種，第一種，在線段CA上，直接從點(diǎn)C爬行到點(diǎn)A，所用時間t=10÷0.6=$\frac{50}{3}$s，
第二種爬行路徑，從點(diǎn)出發(fā)，在線段CB上從點(diǎn)C爬行到點(diǎn)B，再從點(diǎn)B爬行到點(diǎn)A，從點(diǎn)B爬行到點(diǎn)A所用時間t′=15÷1=15s，
在△ABC中，AB-AC＜BC，
∴BC＞5，
∴螞蟻從點(diǎn)C爬行到點(diǎn)B是所用時間大于5÷0.6=$\frac{25}{3}$∴第二種爬行路徑所用時間大于15+$\frac{25}{3}$=$\frac{70}{3}$s，
∵$\frac{70}{3}$＞$\frac{50}{3}$，
∴螞蟻爬行的路徑是第一種，在線段CA上，直接從點(diǎn)C爬行到點(diǎn)A，所用時間為$\frac{50}{3}$s．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定方法，相似三角形的性質(zhì)，求出OA=4MG是解本題的關(guān)鍵，作輔助線是解本題的難點(diǎn)．