Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，動(dòng)點(diǎn)P從D出發(fā)以1個(gè)單位每秒的速度往C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)以3個(gè)單位每秒的速度經(jīng)B往C運(yùn)動(dòng)，若P、Q同時(shí)出發(fā)，其中一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PA、PQ，若記△APQ的面積為y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)Q在AB上時(shí)，求使△APQ的面積與四邊形QBCP的面積相等時(shí)的x的值；
（3）連結(jié)BD，是否存在某個(gè)時(shí)刻使PQ∥BD？若存在，求出x的值，并求此時(shí)△APQ的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）分Q點(diǎn)在AB上和Q點(diǎn)在BC上兩種情況分別求解；
（2）當(dāng)Q在AB上時(shí)，PC=4-x，BQ=4-3x，利用面積相等可以解出x；
（3）分Q點(diǎn)在AB上和Q點(diǎn)在BC上兩種情況分別討論，Q在AB上時(shí)顯然不成立，當(dāng)Q在BC上時(shí)，CB=CD要使PQ∥BD，只要CP=CQ，列出方程可求出x，代入解析式可求得面積．

解答：解：（1）由題意可知：
當(dāng)0≤x≤

4

3

時(shí)，y₁=

1

2

AQ•AD=

1

2

×3x×4=6x，
當(dāng)

4

3

＜x≤

8

3

時(shí)，y₂=

1

2

CQ•CP=

1

2

×（8-3x）×（4-x）=-

3

2

x²+2x+8，
（2）當(dāng)Q在AB上時(shí)，PC=4-x，BQ=4-3x，由題意得可得6x=

1

2

×4×（4-x+4-3x），解得x=

8

7

，且

8

7

＜

4

3

，故符合題意；
（3）存在，理由如下：

連結(jié)BD，顯然，當(dāng)x≤

4

3

時(shí)，PQ與BD不平行；
當(dāng)

4

3

＜x≤

8

3

時(shí)，
∵在正方形ABCD中，∠C=90°，CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
要使PQ∥BD，只要CP=CQ，
即4-x=8-3x，
解得x=2，
此時(shí)CP=CQ=2，（P、Q分別為CD、CB的中點(diǎn)）．
S_△APQ=y₂=-

3

2

x²+2x+8=6，
即當(dāng)x=2時(shí)PQ∥BD，此時(shí)△APQ的面積為6．

點(diǎn)評：本題主要考查正方形有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是化動(dòng)為靜，即利用時(shí)間表示出線段的長度，利用圖形的有關(guān)性質(zhì)列出方程求解．