Question

10．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分別交AB，BC，BD于E，F(xiàn)，G，連接DE，DF．
（1）求證：DE=DF；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，DE=4，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明四邊形BFDE是菱形即可；
（2）在Rt△DFH中，求出DH、FH，在Rt△DHC中，求出CH即可解決問題；

解答 （1）證明：∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，F(xiàn)B=FD．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠CBD．
∵∠ABD+∠BEG=90°，∠CBD+∠BFG=90°，
∴∠BEG=∠BFG．
∴BE=BF．
∴四邊形BFDE是菱形．
∴DE=DF．

（2）解：過D作DH⊥CF于H．
∵四邊形BFDE是菱形，
∴DF∥AB，DE=DF=4．
在Rt△DFH中，∠DFC=∠ABC=30°，
∴DH=2，F(xiàn)H=$\sqrt{3}$DH=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CDH中，∠C=45°，
∴DH=HC=2，
∴CF=CH+FH=2+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的30度角性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．