Question

1．如圖，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線(xiàn)，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線(xiàn)AC上移動(dòng)，另一邊交DC于Q．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，猜想并寫(xiě)出PB與PQ所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，猜想并寫(xiě)出PB與PQ滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：PB=PQ，如圖①中，過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．只要證明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．
（2）結(jié)論不變，證明方法類(lèi)似．

解答 解：（1）結(jié)論：PB=PQ，
理由：如圖①中，過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．
∵P為正方形對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四邊形PECF為正方形．
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFQ=∠PEB}\\{∠QPF=∠BPE}\\{PF=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；               

（2）結(jié)論：PB=PQ．
理由：如圖②，過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，
∵P為正方形對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四邊形PECF為正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFQ=∠PEB}\\{∠QPF=∠BPE}\\{PF=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全球的三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．