Question

12．如圖，在△ABC中，AF：FC=1：2，D是BF的中點，連結AD并延長交BC于點E，求BE：EC的值．

Answer 1

分析 過點F作FG∥BC交AE于G，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DFG=∠DBE，∠DGF=∠DEB，再根據中點定義可得BD=DF，然后利用“角角邊”證明△DBE和△DFG全等，根據全等三角形對應邊相等可得EB=GF，然后求出$\frac{AF}{AC}$，再求出△AFG和△ACE相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到$\frac{FG}{CE}$，從而得到BE：EC；

解答 解：如圖，過點F作FG∥BC交AE于G，
則∠DFG=∠DBE，∠DGF=∠DEB，
∵D是BF的中點，
∴BD=DF，
在△DBE和△DFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFG=∠DBE}\\{DF=BD}\\{∠GDF=∠EDB}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DFG（ASA），
∴EB=GF，
∵AF：FC=1：2
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ACE，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{GF}{CE}$=$\frac{1}{3}$，
∴BE：EC=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理，作輔助線，構造出全等三角形和相似三角形是解題的關鍵．