Question

14．已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)t=1s時(shí)，求經(jīng)過點(diǎn)O，P，A三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）當(dāng)t=2s時(shí)，求tan∠QPA的值；
（3）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M，且BM=2AM時(shí)，求t（s）的值；
（4）連接CQ，當(dāng)點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過程中，記△CQP與矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由O、P、A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）當(dāng)t=2s時(shí)，可知P與點(diǎn)B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；
（3）用t可表示出BP和AQ的長，由△PBM∽△QAM可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；
（4）當(dāng)點(diǎn)Q在線段OA上時(shí)，S=S_△CPQ；當(dāng)點(diǎn)Q在線段OA上，且點(diǎn)P在線段CB的延長線上時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)可用t表示出AM的長，由S=S_{四邊形BCQM}=S_矩形OABC-S_△COQ-S_△AMQ，可求得S與t的關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)Q在OA的延長線上時(shí)，設(shè)CQ交AB于點(diǎn)M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，從而可表示出BM，S=S_△CBM，可求得答案．

解答 解：
（1）當(dāng)t=1s時(shí)，則CP=2，
∵OC=3，四邊形OABC是矩形，
∴P（2，3），且A（4，0），
∵拋物線過原點(diǎn)O，
∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=3}\\{16a+4b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴過O、P、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²+3x；

（2）當(dāng)t=2s時(shí)，則CP=2×2=4=BC，即點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，OQ=2，如圖1，

∴AQ=OA-OQ=4-2=2，且AP=OC=3，
∴tan∠QPA=$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{2}{3}$；

（3）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M，則可知點(diǎn)Q在線段OA上，點(diǎn)P在線段CB的延長線上，如圖2，

則CP=2t，OQ=t，
∴BP=PC-CB=2t-4，AQ=OA-OQ=4-t，
∵PC∥OA，
∴△PBM∽△QAM，
∴$\frac{BP}{AQ}$=$\frac{BM}{AM}$，且BM=2AM，
∴$\frac{2t-4}{4-t}$=2，解得t=3，
∴當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M，且BM=2AM時(shí)，t為3s；

（4）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖3，

由題意可知CP=2t，
∴S=S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×2t×3=3t；
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)M，如圖4，

由題意可知PC=2t，OQ=t，則BP=2t-4，AQ=4-t，
同（3）可得$\frac{BP}{AQ}$=$\frac{BM}{AM}$=$\frac{2t-4}{4-t}$，
∴BM=$\frac{2t-4}{4-t}$•AM，
∴3-AM=$\frac{2t-4}{4-t}$•AM，解得AM=$\frac{12-3t}{t}$，
∴S=S_{四邊形BCQM}=S_矩形OABC-S_△COQ-S_△AMQ=3×4-$\frac{1}{2}$×t×3-$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{12-3t}{t}$=24-$\frac{24}{t}$-3t；
當(dāng)t＞4時(shí)，設(shè)CQ與AB交于點(diǎn)M，如圖5，

由題意可知OQ=t，AQ=t-4，
∵AB∥OC，
∴$\frac{AM}{OC}$=$\frac{AQ}{OQ}$，即$\frac{AM}{3}$=$\frac{t-4}{t}$，解得AM=$\frac{3t-12}{t}$，
∴BM=3-$\frac{3t-12}{t}$=$\frac{12}{t}$，
∴S=S_△BCM=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{12}{t}$=$\frac{24}{t}$；
綜上可知S=$\left\{\begin{array}{l}{3t（0≤t≤2）}\\{24-\frac{24}{t}-3t（2＜t≤4）}\\{\frac{24}{t}（t＞4）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)與四邊形的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中求得P點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定P、B重合是解題的關(guān)鍵，在（3）中由相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，在（4）中確定出P、Q的位置，從而確定出S為哪一部分圖形的面積是解題的關(guān)鍵．本題為“運(yùn)動(dòng)型”問題，用t和速度表示出相應(yīng)線段的長度，化“動(dòng)”為“靜”是解這類問題的一般思路．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別是最后一問，情況較多，難度較大．